Laplace, 2° ordine e reti due porte

Trasformata di Laplace allo 0⁻, circuiti del secondo ordine, metodo simbolico, funzioni di rete e parametri delle reti due porte.

Segnali tipici e impulso

• Gradino $u(t)$: 0 per $t<0$, 1 per $t>0$. Un generatore costante $E$ “acceso” a $t=0$ è $E\,u(t)$.
• Impulso di Dirac $\delta(t)$: limite di impulsi rettangolari di area 1; $\delta(t) = \dfrac{du}{dt}$ in senso generalizzato, $\int f(t)\delta(t)\,dt = f(0)$.
• Derivata generalizzata di una funzione con salto: $\dfrac{df}{dt} = \dot f_{ord} + [f(0^+) - f(0^-)]\,\delta(t)$.
• Un generatore impulsivo di tensione $\Phi\,\delta(t)$ (V·s) su un induttore produce un salto di corrente $\Delta i_L = \Phi/L$; un generatore impulsivo di corrente $q\,\delta(t)$ (A·s) su un condensatore produce $\Delta v_C = q/C$.

Trasformata di Laplace (allo 0⁻)

Partire da $0^-$ permette di includere gli impulsi in $t=0$ e di usare le condizioni iniziali prima della commutazione (che si conoscono facilmente dal regime stazionario).

Antitrasformata: fratti semplici

Per $F(s) = N(s)/D(s)$ razionale propria (grado $N$ < grado $D$):

• Polo semplice $p$: $\;A = \lim_{s\to p}(s-p)F(s) = \dfrac{N(p)}{D'(p)}$ ⇒ $A\,e^{pt}u(t)$.
• Polo doppio $p$: $\dfrac{A_2}{(s-p)^2} + \dfrac{A_1}{s-p}$ con $A_2 = \lim (s-p)^2F$, $A_1 = \lim \dfrac{d}{ds}[(s-p)^2F]$ ⇒ $(A_1 + A_2 t)e^{pt}$.
• Poli complessi coniugati $p = -\alpha \pm j\omega$: calcola solo il residuo $B$ in $-\alpha + j\omega$ (l'altro è $B^*$):
  $$Be^{pt} + B^*e^{p^*t} = 2|B|e^{-\alpha t}\cos(\omega t + \angle B) = 2e^{-\alpha t}\big(\mathrm{Re}B\cos\omega t - \mathrm{Im}B\sin\omega t\big)$$
• In alternativa, completa il quadrato: $\dfrac{as+b}{(s+\alpha)^2+\omega^2} = a\dfrac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2} + \dfrac{b-a\alpha}{\omega}\dfrac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}$.
• Se grado $N$ = grado $D$: prima dividi, il quoziente costante $k$ dà $k\,\delta(t)$.

Calcolatore antitrasformata con residui

Circuiti del secondo ordine (dominio del tempo)

Forma canonica: $\ddot x + 2\alpha\dot x + \omega_0^2 x = f$; equazione caratteristica $s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0$; frequenze naturali $s_{1,2} = -\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$.

Fattore di qualità: $Q = \dfrac{\omega_0}{2\alpha}$ ($Q_s = \dfrac{\omega_0L}{R_s}$, $Q_p = \omega_0CR_p$). $Q<\tfrac12$ sovrasmorzato, $Q=\tfrac12$ critico, $Q>\tfrac12$ sottosmorzato.

Tutte le grandezze del circuito in evoluzione libera hanno le stesse frequenze naturali. Al crescere di $R_p$ (parallelo) le radici, con prodotto costante $\omega_0^2$, si avvicinano, coincidono e poi diventano complesse su una circonferenza di raggio $\omega_0$.

Metodo simbolico di Laplace

Si trasforma direttamente il circuito: KI e KV valgono per le trasformate, e ogni bipolo ha il suo equivalente in $s$.

Il risultato si scompone in risposta forzata (dovuta ai generatori, stato nullo) + risposta libera (dovuta ai generatori di condizioni iniziali). Esempio dalle slide (RLC serie con $E$):

I poli di $I(s)$ (escluso eventualmente $s=0$ dovuto al gradino) coincidono con le frequenze naturali del circuito.

Figure dei modelli di L e C e procedura d'esame

Funzioni di rete

Per un circuito LTI a stato iniziale nullo, con un solo ingresso $X(s)$ e un'uscita $Y(s)$:

• Funzioni di immettenza (ingresso e uscita alla stessa porta): impedenza $Z(s)$, ammettenza $Y(s)$.
• Funzioni di trasferimento (porte diverse): $T_v = V_o/V_i$, $T_i$, transimpedenza, transammettenza.
• $H(s)$ è una funzione razionale reale; i poli sono le frequenze naturali (salvo cancellazioni).
• Stabilità asintotica: tutti i poli con parte reale < 0 (circuiti passivi con perdite lo sono sempre).
• Risposta in frequenza: $H(j\omega)$ — modulo e fase; il regime sinusoidale è $|H(j\omega)|$ e $\angle H(j\omega)$ applicati al fasore d'ingresso.
• Filtri: passa-basso ($RC$: $H = \frac{1}{1+sRC}$), passa-alto ($\frac{sRC}{1+sRC}$), passa-banda del 2° ordine ($\propto \frac{s}{s^2+2\alpha s+\omega_0^2}$).

Reti due porte

Le definizioni operative sono nella tabella dei metodi. Qui le relazioni tra parametri e le connessioni.