Metodi passo-passo

Le “ricette” per i tre esercizi che escono sempre. Imparale a memoria: ogni passo vale punti anche se non arrivi in fondo.

Esercizio A · Equivalente di Thevenin / Norton

Metodo rapido (quello che chiede quasi sempre il prof)

1. Alimenta i morsetti a-b con un generatore di corrente indipendente $i_0$ (entrante in a) e chiama $v_0$ la tensione ai morsetti.
2. Sostituisci i modelli: BJT con il circuito a parametri h, AO ideale con $v_+=v_-$ e $i_+=i_-=0$.
3. Lascia accesi tutti i generatori (indipendenti e controllati).
4. Scrivi le equazioni (Millman, nodi, KV/KI) e elimina le grandezze di controllo, che vanno espresse in funzione di $v_0$ e $i_0$.
5. Arrivi a $v_0 = (\ldots) + (\ldots)\, i_0$. Confronta con $v_0 = v_{eq} + R_{eq} i_0$: il termine noto è $v_{eq}$, il coefficiente di $i_0$ è $R_{eq}$.

Metodo con la definizione

1. $v_{eq} = v_{c.a.}$: tensione a vuoto ai morsetti (nessun carico, $i_0 = 0$).
2. $R_{eq}$: spegni solo i generatori indipendenti (tensione → corto circuito, corrente → circuito aperto), lascia i controllati e gli AO, applica $i_0$ e calcola $R_{eq}=v_0/i_0$.
3. Se non ci sono generatori controllati, $R_{eq}$ si trova anche con serie/parallelo/stella-triangolo.
4. Norton: $i_{eq} = i_{c.c.}$ (morsetti in corto), $G_{eq}$ come sopra. Se esistono entrambi: $R_{eq}=v_{c.a.}/i_{c.c.}$.

Guidato: esempio svolto + esercizio su Thevenin · esercizi svolti su Thevenin

Esercizio A′ · Parametri di una rete due porte

Convenzione: $v_1, i_1$ alla porta 1, $v_2, i_2$ alla porta 2, correnti entranti nei morsetti “alti”.

1. Per ogni coppia di parametri, imponi la condizione (porta aperta → corrente nulla; porta in corto → tensione nulla).
2. Alimenta l'altra porta con la grandezza “indipendente” (es. per $h_{11},h_{21}$: generatore di corrente $i_1$ sulla porta 1, corto sulla porta 2).
3. Risolvi il circuito resistivo (con controllati!) e calcola i rapporti.
4. Scrivi la matrice e commenta la reciprocità: $z_{12}=z_{21}$ · $y_{12}=y_{21}$ · $h_{12}=-h_{21}$ · $AD-BC=1$.

Esercizio guidato sui parametri h

Esercizio B · Rifasamento

Tutte le tensioni e correnti sono valori efficaci; $f = 50$ Hz ⇒ $\omega = 2\pi\cdot 50 \approx 314$ rad/s.

1. Per ogni carico trova $P$ e $Q$ usando i dati del testo (vedi tabella sotto). Carico induttivo ⇒ $Q>0$, capacitivo ⇒ $Q<0$.
2. Risali dal carico verso i morsetti AB sezione per sezione:
   • a una sezione con $V$ nota: elementi in parallelo ⇒ $P_R = V^2/R$, $Q_X = V^2/X$;
   • con la corrente $I$ di un ramo nota: elementi in serie ⇒ $P_R = R I^2$, $Q_X = X I^2$ ($X_L=\omega L$, $X_C = -1/\omega C$);
   • tensione o corrente di una sezione: $A = \sqrt{P^2+Q^2}$, poi $I = A/V$ oppure $V = A/I$.
3. Boucherot: $P_{AB}=\sum P_k$, $Q_{AB}=\sum Q_k$, $A_{AB}=\sqrt{P_{AB}^2+Q_{AB}^2}$, $\cos\varphi_{AB} = P_{AB}/A_{AB}$, $I_{AB}=A_{AB}/V_{AB}$.
4. Condensatore di rifasamento (in parallelo ai morsetti AB):
   $$C = \frac{Q_{AB} - P_{AB}\tan\varphi'}{\omega V_{AB}^2},\qquad \tan\varphi' = \tan(\arccos 0.95) = 0.3287$$
5. Dopo il rifasamento: $Q' = P_{AB}\tan\varphi'$, $A' = \sqrt{P_{AB}^2+Q'^2} = P_{AB}/0.95$, $I' = A'/V_{AB}$, riduzione $\Delta I = I_{AB} - I'$.
6. Diagramma fasoriale con $\bar V_{AB}$ reale: $\bar I_{AB} = I_{AB}\angle{-\varphi}$ (in ritardo), $\bar I_C = \omega C V_{AB}\angle{+90°}$, $\bar I' = \bar I_{AB} + \bar I_C = I'\angle{-\varphi'}$. La parte reale (corrente attiva) non cambia.

Da dati del testo a $P$ e $Q$

Esercizio guidato sul rifasamento · Calcolatore rifasamento · Genera esercizi di rifasamento

Esercizio C · Transitorio del 2° ordine + Laplace

Parte 1 – Dominio del tempo

1. Stato a $t=0^-$ (regime stazionario 1, circuito prima della commutazione):
   • con generatori costanti: C → circuito aperto, L → corto circuito; trova $v_C(0^-)$, $i_L(0^-)$;
   • con generatori sinusoidali: usa i fasori, poi $v_C(0^-) = \mathrm{Re}[\bar V_C]$ se $v(t)=\mathrm{Re}[\bar V e^{j\omega t}]$ (es. 29 giu 2020).
2. Continuità: il circuito è non degenere ⇒ $v_C(0^+) = v_C(0^-)$, $i_L(0^+) = i_L(0^-)$.
3. Circuito per $t>0$: riconosci un RLC serie o parallelo (eventualmente dopo Thevenin/Norton visto da L e C) e calcola:
   $$\text{serie: } \alpha = \frac{R_s}{2L}\qquad \text{parallelo: } \alpha = \frac{G_p}{2C}=\frac{1}{2R_pC}\qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ $$s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$$
4. Riconosci il caso (tabella sotto) e scrivi la forma della risposta completa = transitorio + regime.
5. Regime stazionario 2 ($t\to\infty$, C aperto, L corto): trova $x(\infty)$.
6. Circuito a $t = 0^+$: sostituisci C con un generatore di tensione $v_C(0^+)$ e L con un generatore di corrente $i_L(0^+)$, e trova la derivata iniziale:
   $$\frac{di_L}{dt}(0^+) = \frac{v_L(0^+)}{L}\qquad \frac{dv_C}{dt}(0^+) = \frac{i_C(0^+)}{C}$$
7. Problema di Cauchy: imponi $x(0^+)$ e $\dot x(0^+)$ e trova $k_1, k_2$.

Con $\Delta = x(0^+) - x_\infty$ e $\dot x_0 = \dot x(0^+)$ (formule valide per regime costante).

Se dopo $t = 0$ c'è un generatore sinusoidale

Succede in 4 compiti su 16, compresi gli ultimi due (16 feb e 1 apr 2022): a $t = 0$ un interruttore inserisce un generatore tipo $\cos 2t$. Il metodo è lo stesso, cambia solo il regime:

1. Regime con i fasori alla pulsazione del generatore: trovi $\bar X_p = a + jb$ e torni nel tempo con
   $$x_p(t) = \mathrm{Re}\big[\bar X_p\, e^{j\omega t}\big] = a\cos\omega t - b\sin\omega t$$
2. Forma della risposta: $x(t) = x_p(t) + \text{transitorio}$ (stessa tabella qui sopra, ma senza $x_\infty$).
3. Costanti: al posto di $x_\infty$ usi il regime a $t = 0$, cioè $\Delta = x(0^+) - x_p(0)$ e $\dot x_0 = \dot x(0^+) - \dot x_p(0)$. Nel caso sottosmorzato:
   $$k_1 = x(0^+) - x_p(0)\qquad k_2 = \frac{\dot x(0^+) - \dot x_p(0) + \alpha k_1}{\omega_d}$$
4. Laplace: $\cos\omega t \to \dfrac{s}{s^2+\omega^2}$, $\sin\omega t \to \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$. I residui nei poli $\pm j\omega$ ridanno $x_p(t)$, quelli nei poli naturali il transitorio. Il teorema del valore finale non si applica (poli sull'asse immaginario); quello del valore iniziale sì.

Esercizio guidato: compito del 1 aprile 2022

Parte 2 – Verifica con Laplace (da $t = 0^-$)

1. Disegna il circuito simbolico per $t>0$: $R \to R$, generatore costante $E \to E/s$, e per L e C gli equivalenti con le condizioni iniziali a $0^-$ (figure sotto).
2. Risolvi il circuito come se fosse resistivo (Millman, partitori, nodi) ⇒ $X(s) = N(s)/D(s)$.
3. Controlla: le radici di $D(s)$ (tranne $s=0$) sono le frequenze naturali trovate prima; $\lim_{s\to\infty} sX(s) = x(0^+)$; $\lim_{s\to 0} sX(s) = x(\infty)$.
4. Fratti semplici: $X(s) = \dfrac{A_0}{s} + \dfrac{B}{s-p} + \dfrac{B^*}{s-p^*}$, con $A_0 = \lim_{s\to0} sX(s)$, $B = \lim_{s\to p}(s-p)X(s)$.
5. Antitrasforma: per poli complessi $p=-\alpha+j\omega_d$:
   $$\frac{B}{s-p}+\frac{B^*}{s-p^*}\;\longrightarrow\; 2e^{-\alpha t}\big(\mathrm{Re}B\,\cos\omega_d t - \mathrm{Im}B\,\sin\omega_d t\big)u(t)$$
   e verifica che coincida con il risultato nel dominio del tempo.

Due transitori guidati passo-passo · transitori svolti · Risolutore RLC · Antitrasformata · Allenamento