Reti resistive (senza memoria)
Relazioni costitutive, teoremi sulle reti lineari e metodi generali di analisi. Base per l'esercizio di Thevenin/Norton e per le reti due porte.
Leggi di Kirchhoff e convenzioni
KI – legge delle correnti
La somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo (o da una superficie gaussiana) è nulla: $\sum_k \pm i_k = 0$.
KV – legge delle tensioni
La somma algebrica delle tensioni lungo una maglia chiusa è nulla: $\sum_k \pm v_k = 0$.
Convenzione degli utilizzatori: la corrente entra nel morsetto + ⇒ $p = v\,i$ è la potenza assorbita. Convenzione dei generatori: la corrente esce dal + ⇒ $p = v\,i$ è la potenza erogata.
- Teorema di Tellegen: per tensioni e correnti che soddisfano KV e KI sullo stesso grafo (anche di circuiti diversi), $\sum_k v_k i_k = 0$.
- Conservazione della potenza (caso particolare): la somma delle potenze assorbite da tutti i lati è nulla ⇒ potenza erogata = potenza assorbita.
- Per un circuito con $n$ nodi e $l$ lati: $n-1$ KI indipendenti, $l-n+1$ KV indipendenti (maglie fondamentali = lati del coalbero).
Bipoli elementari
| Bipolo | Relazione costitutiva | Note |
|---|---|---|
| Resistore | $v = R i$, $i = G v$ | $p = Ri^2 \ge 0$ (passivo se $R>0$) |
| Generatore ideale di tensione | $v = e$ per ogni $i$ | spento ⇒ corto circuito |
| Generatore ideale di corrente | $i = a$ per ogni $v$ | spento ⇒ circuito aperto |
| Corto circuito / circuito aperto | $v=0$ / $i=0$ | |
| Diodo ideale | $v\le0, i=0$ (OFF) oppure $v=0, i\ge0$ (ON) | ipotizza lo stato e verifica |
Un bipolo è controllabile in corrente se per ogni $i$ esiste un'unica $v$ (⇒ esiste Thevenin), controllabile in tensione se per ogni $v$ esiste un'unica $i$ (⇒ esiste Norton).
Generatori controllati, AO, BJT
| Tipo | Relazione | Parametro |
|---|---|---|
| VCVS – tensione controllato in tensione | $v_2 = \mu\, v_1$ | $\mu$ adimensionale |
| CCVS – tensione controllato in corrente | $v_2 = r\, i_1$ | $r$ in Ω (transresistenza) |
| VCCS – corrente controllato in tensione | $i_2 = g\, v_1$ | $g$ in Ω⁻¹ (transconduttanza) |
| CCCS – corrente controllato in corrente | $i_2 = \beta\, i_1$ | $\beta$ adimensionale |
Amplificatore operazionale ideale
In funzionamento lineare (con retroazione negativa):
- Invertente: $v_o = -\dfrac{R_2}{R_1}v_i$
- Non invertente: $v_o = \left(1+\dfrac{R_2}{R_1}\right)v_i$
- Inseguitore: $v_o = v_i$
- Sommatore invertente: $v_o = -R_f\sum_k \dfrac{v_k}{R_k}$
Modello: nullatore all'ingresso ($v=0,i=0$) + noratore all'uscita ($v, i$ arbitrari).
BJT – parametri ibridi (emettitore comune)
- $h_{ie}$ [Ω]: resistenza d'ingresso tra B ed E
- $h_{re}$: generatore di tensione controllato $h_{re}v_{ce}$ in serie a $h_{ie}$ (spesso 0)
- $h_{fe}$: generatore di corrente $h_{fe}i_b$ tra C ed E
- $h_{oe}$ [Ω⁻¹]: conduttanza in parallelo tra C ed E (spesso 0)
Utile: KI alla superficie gaussiana che racchiude il transistor ⇒ $i_e = i_b + i_c = (1+h_{fe})i_b$ se $h_{oe}=0$.
Trasformatore ideale e giratore
Trasformatore ideale (rapporto $n$)
Non assorbe potenza ($v_1i_1+v_2i_2=0$). Un carico $R$ sul secondario è visto al primario come $n^2R$.
Giratore (resistenza di girazione $r$)
Non reciproco, non assorbe potenza. Un carico $R$ è visto come $r^2/R$; un condensatore diventa un induttore $L = r^2C$.
Serie, parallelo, partitori, stella-triangolo
Serie e parallelo
Partitori
Triangolo → stella
Resistenza di stella sul nodo = prodotto dei due lati adiacenti / somma. Se uguali: $R_Y = R_\Delta/3$.
Stella → triangolo
Somma dei prodotti a due a due / resistenza opposta. Se uguali: $R_\Delta = 3R_Y$.
Trasformazione dei generatori reali
Un generatore di tensione $e$ in serie a $R$ equivale a un generatore di corrente $a = e/R$ in parallelo a $R$ (verso: la corrente esce dal morsetto + di $e$). Vale anche per i generatori controllati purché la grandezza di controllo non venga “assorbita” nella trasformazione.
Trucco del metodo topologico (lezione 6-bis): un generatore ideale di tensione si può “duplicare” su tutti i lati di un taglio, uno di corrente su tutti i lati di una maglia, senza alterare il comportamento ai morsetti, per poterlo poi trasformare.
Teorema di Millman
Per rami in parallelo tra due nodi, ciascuno con generatore di tensione $e_k$ in serie a $R_k$, più eventuali generatori di corrente $a_j$ entranti nel nodo:
I rami con un generatore di corrente ideale contribuiscono solo al numeratore (la loro conduttanza in serie non conta). È lo strumento più veloce nei circuiti a due nodi, anche con generatori controllati e in Laplace.
Principio di sovrapposizione degli effetti
In una rete lineare la risposta a più generatori indipendenti è la somma delle risposte a ciascun generatore agente da solo (gli altri spenti).
- I generatori controllati non si spengono mai.
- Non vale per le potenze (sono quadratiche).
- In regime sinusoidale con frequenze diverse: sovrapposizione nel dominio del tempo, non dei fasori.
Teoremi di Thevenin e Norton
Thevenin
Un bipolo lineare controllabile in corrente equivale a $v_{eq}$ in serie a $R_{eq}$:
$v_{eq} = v_{c.a.}$ (a vuoto); $R_{eq}$ del bipolo omogeneo associato (generatori indipendenti spenti).
Norton
Un bipolo lineare controllabile in tensione equivale a $i_{eq}$ in parallelo a $G_{eq}$:
$i_{eq} = i_{c.c.}$ (in corto); se esistono entrambi $R_{eq} = v_{c.a.}/i_{c.c.}$.
Dimostrazione (da sapere per l'orale): alimento il bipolo con $i_0$ e applico la sovrapposizione separando “cause interne” e $i_0$: $v_0 = v_{01} + v_{02} = v_{c.a.} + R_{eq}\,i_0$. Da qui nasce il metodo rapido.
Esempio dalle slide: bipolo con generatore controllato (Req negativa)
Bipolo con $E$, $I_s$ e un generatore controllato $5i_1$. Con Millman ai due nodi, alimentando con $i_0$:
La grandezza di controllo si elimina con $v_0 = Ri_1 + E$ ⇒ $i_1 = (v_0-E)/R$. Sostituendo:
Quindi $v_{eq} = E + \dfrac R4 I_s$, $R_{eq} = -\dfrac R4$ (bipolo attivo).
Massimo trasferimento di potenza (resistivo)
Un carico $R_L$ collegato a un bipolo di Thevenin $(v_{eq}, R_{eq})$ con $R_{eq}>0$ assorbe la potenza massima per $R_L = R_{eq}$:
Metodi generali: grafi, nodi, maglie
Grafo, albero, coalbero
- Albero: sottografo connesso senza maglie che tocca tutti i nodi ($n-1$ lati).
- Coalbero: lati rimanenti ($l-n+1$).
- Maglia fondamentale: un lato di coalbero + il percorso sull'albero.
- Taglio fondamentale: un lato d'albero + i lati di coalbero che lo attraversano.
Metodo dei nodi (il più usato)
- Scegli il nodo di riferimento (massa), incognite: potenziali degli altri $n-1$ nodi.
- Scrivi la KI a ogni nodo esprimendo le correnti con $G(e_j - e_k)$.
- Generatori di tensione tra due nodi: supernodo (o metodo misto).
- Generatori controllati: esprimi la grandezza di controllo con i potenziali.
Resistori non lineari e diodo ideale
Per un circuito con diodi ideali: ipotizza lo stato di ogni diodo (ON = corto, OFF = aperto), risolvi il circuito lineare risultante, verifica la coerenza ($i\ge0$ se ON, $v\le0$ se OFF). Se non è coerente cambia ipotesi.