Esercizi svolti

Esercizi dei compiti e delle slide, con svolgimento completo nello stile richiesto dal docente. Prova sempre prima da solo, poi apri la soluzione.

Preferisci essere guidato?Nella pagina Esercizi guidati gli stessi esercizi-tipo sono spezzati in passaggi: rispondi tu a ogni passo e il sito corregge.
Le figureI circuiti dei compiti sono nei PDF originali: il link apre il testo (funziona aprendo il sito direttamente dalla cartella, con doppio clic su index.html).

Transitori del 2° ordine

T1 · RLC serie sottosmorzato con due interruttori slide lezione 16

Testo. L'interruttore S1, aperto da lungo tempo, si chiude a $t=0$, mentre S2, chiuso da lungo tempo, si apre a $t=0$. Determinare $i(t)$ (corrente nell'induttore), $t\ge0$, risposta completa, nel dominio del tempo; è noto $v(0^-) = 2$ V. Verificare con Laplace. Per $t>0$ il circuito è un RLC serie con $R_s = 6\,\Omega$, $L=1$ H, $C = 0.1$ F.

  1. Regime stazionario a $0^-$: $i(0^-) = 2/3$ A, $v(0^-) = 2$ V. Circuito non degenere ⇒ $i(0^+) = 2/3$ A, $v(0^+) = 2$ V.
  2. Tipo di circuito: RLC serie, $R_c = 2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{10}\approx 6.32\,\Omega$ > $R_s = 6\,\Omega$ ⇒ sottosmorzato. $\alpha = R_s/2L = 3$ rad/s, $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = \sqrt{10}$, $\omega_d = \sqrt{10-9} = 1$ rad/s ⇒ $s_{1,2} = -3\pm j$.
  3. Forma della completa: $i(t) = k_1e^{-3t}\cos t + k_2e^{-3t}\sin t + i(\infty)$.
  4. Regime stazionario 2: $i(\infty) = 2$ A.
  5. Circuito a $0^+$: KV $v_L(0^+) + 6\cdot\tfrac23 - 2 = 0$ ⇒ $v_L(0^+) = -2$ V ⇒ $\dfrac{di}{dt}(0^+) = \dfrac{v_L(0^+)}{L} = -2$ A/s.
  6. Cauchy: $i(0^+) = k_1 + 2 = \tfrac23$ ⇒ $k_1 = -\tfrac43$; $\;\dot i(0^+) = -3k_1 + k_2 = -2$ ⇒ $k_2 = -6$.
    $$i(t) = -\tfrac43 e^{-3t}\cos t - 6e^{-3t}\sin t + 2,\quad t\ge0$$
  7. Laplace: con Millman sul circuito simbolico si ottiene
    $$I(s) = \frac23\,\frac{s^2+3s+30}{s(s^2+6s+10)}$$
    Residui: in $s=0$: $A = \tfrac23\cdot3 = 2$; in $s=-3+j$: $B = \tfrac23\left(-1+j\tfrac92\right)$. Antitrasformando: $2e^{-3t}(\mathrm{Re}B\cos t - \mathrm{Im}B\sin t) = -\tfrac43e^{-3t}\cos t - 6e^{-3t}\sin t$ ✓.

T2 · RLC parallelo sovrasmorzato esercitazione riassuntiva P3

Testo. L'interruttore, aperto da lungo tempo, si chiude a $t=0$. Determinare $i(t)$ (corrente nell'induttore), $t\ge0$. Per $t>0$ si ha un RLC parallelo alimentato in corrente con $\alpha = 2$ rad/s, $\omega_0 = \sqrt3$ rad/s, $L = 1/3$ H; stato a $0^-$: $i(0^-) = 2$ A, $v(0^-) = 1/2$ V; $i(\infty) = 2$ A.

  1. Non degenere: $i(0^+) = 2$ A, $v(0^+) = 1/2$ V.
  2. $\alpha = 2 > \omega_0 = \sqrt3$ ⇒ sovrasmorzato: $s_{1,2} = -2\pm\sqrt{4-3} = \{-1,-3\}$.
  3. Completa: $i(t) = k_1e^{-t} + k_2e^{-3t} + 2$.
  4. A $0^+$: $v(0^+) = v_L(0^+) = L\,\dot i(0^+)$ ⇒ $\dot i(0^+) = \dfrac{1/2}{1/3} = \dfrac32$ A/s.
  5. Cauchy: $k_1 + k_2 = 0$, $-k_1 - 3k_2 = \tfrac32$ ⇒ $k_1 = \tfrac34$, $k_2 = -\tfrac34$.
    $$i(t) = \tfrac34e^{-t} - \tfrac34e^{-3t} + 2,\quad t\ge0$$
  6. Laplace: $I_L(s) = \hat I_L(s) + \dfrac2s$ con $\hat I_L(s) = \dfrac32\,\dfrac{1}{(s+1)(s+3)} = \dfrac34\left[\dfrac{1}{s+1} - \dfrac{1}{s+3}\right]$ ⇒ stesso risultato ✓.

T3 · Smorzamento critico con stato iniziale sinusoidale compito 29 giu 2020, Es. 3 PDF

Testo (sintesi). Prima di $t=0$ il circuito è in regime sinusoidale; a $t=0$ commuta l'interruttore e per $t>0$ resta un RLC serie in evoluzione libera con $R_s = 1\,\Omega$, $L = 1/4$ H, $C = 1$ F. Determinare $i(t)$.

  1. Stato a $0^-$: $i(0^-) = 0$ A. Per $v_C$ si risolve il circuito a $t = 0^-$ con i fasori (partitore tra la reattanza capacitiva e il resto del circuito): $\bar V_C = \dfrac{1-j}{2}$ V ⇒ $v_C(0^-) = \mathrm{Re}[\bar V_C] = \tfrac12$ V (perché $v_C(t) = \mathrm{Re}[\bar V_Ce^{j\omega t}]$ e a $t=0$ l'esponenziale vale 1).
  2. Non degenere: $v_C(0^+) = \tfrac12$ V, $i(0^+) = 0$.
  3. $R_c = 2\sqrt{L/C} = 1\,\Omega = R_s$ ⇒ criticamente smorzato, $\alpha = R_s/2L = 2 = \omega_0$.
  4. Evoluzione libera ⇒ regime nullo: $i(t) = k_1e^{-2t} + k_2te^{-2t}$.
  5. A $0^+$: $v_L(0^+) = -v_C(0^+) = -\tfrac12$ V ⇒ $\dot i(0^+) = -2$ A/s.
  6. $k_1 = i(0^+) = 0$; $k_2 = \dot i(0^+) + \alpha k_1 = -2$:
    $$i(t) = -2t\,e^{-2t},\quad t\ge0$$
  7. Laplace: $I(s) = \dfrac{-\frac{1}{2s}}{\frac s4 + 1 + \frac1s} = -\dfrac{2}{(s+2)^2}$ ⇒ $i(t) = -2te^{-2t}u(t)$ ✓.

T4 · Risposta completa sottosmorzata compito 17 giu 2021, Es. 3 PDF

Testo. L'interruttore S, aperto da lungo tempo, si chiude a $t = 0$. Determinare $i(t)$ per $t\ge0$ (risposta completa) nel dominio del tempo e verificare con Laplace da $t=0^-$.

  1. Dal regime stazionario a $0^-$: $i_L(0^-) = 2$ A, $v_C(0^-) = -1$ V (verso + in alto).
  2. Per $t>0$: circuito sottosmorzato con $s_{1,2} = -2\pm j$ ($\alpha = 2$, $\omega_d = 1$, $\omega_0^2 = 5$).
  3. Regime stazionario 2: $i(\infty) = 4$ A ⇒ $i(t) = k_1e^{-2t}\cos t + k_2e^{-2t}\sin t + 4$.
  4. Condizioni: $i(0^+) = 2$ A, $\dot i(0^+) = 5$ A/s.
  5. $k_1 = 2 - 4 = -2$; $k_2 = \dfrac{\dot i_0 + \alpha k_1}{\omega_d} = \dfrac{5 - 4}{1} = 1$:
    $$i(t) = -2e^{-2t}\cos t + e^{-2t}\sin t + 4,\quad t\ge0$$
  6. Laplace: $I(s) = \dfrac{2s^2+13s+20}{s(s^2+4s+5)}$. Residuo in 0: $20/5 = 4$. In $p=-2+j$: $N(p) = 5j$, $p(p-p^*) = (-2+j)(2j) = -2-4j$ ⇒ $B = \dfrac{5j}{-2-4j} = -1 - \tfrac j2$. Quindi $2e^{-2t}(-\cos t + \tfrac12\sin t)$ ✓.

Prova tu: calcolatore antitrasformata → “Esempio 17 giu 2021”.

T5 · Tensione con regime costante compito 15 set 2020, Es. 3 PDF

Testo. L'interruttore, chiuso da lungo tempo, si apre a $t=0$. Determinare $v(t)$ per $t\ge0$, risposta completa. Verificare con Laplace.

  1. $i_L(0^-) = 2/3$ A, $v(0^-) = 1/3$ V.
  2. Per $t\ge0$ sottosmorzato con $s_{1,2} = -1\pm j\sqrt3$ ⇒ $\alpha = 1$, $\omega_d = \sqrt3$.
  3. $v(t) = k_1e^{-t}\cos\sqrt3t + k_2e^{-t}\sin\sqrt3t + 1$, con $v(0^+) = 1/3$ V e $\dot v(0^+) = 4/3$ V/s.
  4. $k_1 = \tfrac13 - 1 = -\tfrac23$; $k_2 = \dfrac{\frac43 - \frac23}{\sqrt3} = \dfrac{2}{3\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{9}$:
    $$v(t) = -\tfrac23e^{-t}\cos(\sqrt3t) + \tfrac{2\sqrt3}{9}e^{-t}\sin(\sqrt3t) + 1,\quad t\ge0$$

T6 · Evoluzione libera compito 12 lug 2021, Es. 2 PDF

Testo. L'interruttore S, aperto da lungo tempo, si chiude a $t=0$. Determinare $v(t)$ per $t\ge0$ e verificare con Laplace.

  1. Risultati ufficiali: $i_L(0^-) = 0$, $v_C(0^-) = 1$ V; $s_{1,2} = -1\pm j\sqrt3$; problema di Cauchy con $v(0^+) = 1$ V, $\dot v(0^+) = -2$ V/s e regime nullo.
  2. $k_1 = 1$; $k_2 = \dfrac{-2 + 1\cdot1}{\sqrt3} = -\dfrac{\sqrt3}{3}$ (completamento nostro):
    $$v(t) = e^{-t}\left[\cos(\sqrt3t) - \tfrac{\sqrt3}{3}\sin(\sqrt3t)\right],\quad t\ge0$$
  3. In Laplace: $V(s) = \dfrac{s\,v(0^+) + \dot v(0^+) + 2\alpha v(0^+)}{s^2+2s+4} = \dfrac{s}{s^2+2s+4}$ ⇒ stessa espressione ✓.

Rifasamento

R1 · Tre carichi in parallelo slide lezione 12

Testo. $V_{AB} = 100$ V eff, 50 Hz. Il carico a, di potenza apparente 1000 VA, ha fattore di potenza 0.8 induttivo. Il carico b assorbe una corrente attiva di 5 A e una corrente reattiva induttiva di 5 A. Il carico c è $\bar Z_c = 10 + j10\,\Omega$. Rifasare a 0.9 induttivo e valutare la diminuzione di corrente.

  1. a: $P_a = 1000\cdot0.8 = 800$ W, $Q_a = 1000\cdot0.6 = 600$ VAR.
  2. b: $P_b = VI_a = 500$ W, $Q_b = VI_r = 500$ VAR.
  3. c: $I_c = \dfrac{100}{\sqrt{10^2+10^2}} = 7.07$ A ⇒ $P_c = 10\cdot 50 = 500$ W, $Q_c = 500$ VAR.
  4. Boucherot: $P_{AB} = 1800$ W, $Q_{AB} = 1600$ VAR, $A_{AB} = 2408$ VA ⇒ $I_{prima} = 24.1$ A.
  5. $C = \dfrac{1600 - 1800\cdot\tan(\arccos0.9)}{314\cdot100^2} = \dfrac{1600-871.8}{3.14\cdot10^6} = 232\ \mu$F.
  6. Dopo: $A' = P/0.9 = 2000$ VA ⇒ $I_{dopo} = 20$ A ⇒ $\Delta I = 4.1$ A.

R2 · Catena di sezioni (serie e parallelo) slide lezione 12

Testo. $\bar Z_a$ assorbe 1500 W con fattore di potenza 0.7 induttivo ed è soggetta a 100 V eff; $\bar Z_b$, in serie ad $\bar Z_a$, ha fattore di potenza 0.3 capacitivo ed è soggetta a 100 V eff. Alla sezione 1-1 (serie a+b) sono in parallelo $X_L$ e $R_2$ (con $V_1^2/X_L = 1058$ VAR e $V_1^2/R_2 = 530$ W); a monte c'è una resistenza serie da 1 Ω. Determinare P, Q, fp del bipolo AB ed effettuare un rifasamento completo.

  1. $A_a = 1500/0.7 = 2142$ VA ⇒ $I_a = I_b = 21.42$ A (sono in serie).
  2. $A_b = 21.42\cdot100 = 2142$ VA ⇒ $P_b = 643$ W, $Q_b = -2043$ VAR.
  3. Sezione 1-1: $P_1 = 2143$ W, $Q_1 = -513$ VAR, $A_1 = 2203$ VA ⇒ $V_1 = A_1/I_a = 103$ V.
  4. Elementi in parallelo a $V_1$: $Q_{X_L} = 1058$ VAR, $P_{R_2} = 530$ W ⇒ $P_2 = 2673$ W, $Q_2 = 545$ VAR, $A_2 = 2728$ VA ⇒ $I_{AB} = A_2/V_1 = 26.5$ A.
  5. Resistenza serie di 1 Ω: $P_{AB} = 2673 + 1\cdot26.5^2 = 3374$ W, $Q_{AB} = 545$ VAR, $A_{AB} = 3418$ VA ⇒ $V_{AB} = 129$ V, $\cos\varphi_{AB} = 0.987$ ind.
  6. Rifasamento completo: $C = \dfrac{Q_{AB}}{\omega V_{AB}^2} = \dfrac{545}{314\cdot129^2} = 104\ \mu$F.
Lezione da portare a casaQuando c'è una catena, parti dal carico più lontano e risali: a ogni sezione calcola $A$, poi la grandezza che manca ($V = A/I$ o $I = A/V$), e aggiungi gli elementi successivi.

R3 · Tre carichi e linea compito 29 giu 2020, Es. 2 Soluzione

Dati (dalla soluzione ufficiale). $V = 100$ V eff, 50 Hz. Carico a: $P_a = 1600$ W, $Q_a = 1200$ VAR. Carico b: $\bar Z_b = 10 + j5\,\Omega$ a 100 V. Carico c: corrente reattiva 10 A (induttiva) e potenza apparente 3000 VA. Rifasare a 0.95 induttivo; calcolare la riduzione di corrente e i fattori di potenza parziali.

  1. b: $I_b = 100/\sqrt{125} = 8.94$ A ⇒ $P_b = 10I_b^2 = 800$ W, $Q_b = 5I_b^2 = 400$ VAR.
  2. c: $Q_c = VI_r = 1000$ VAR, $P_c = \sqrt{3000^2 - 1000^2} = 2828$ W.
  3. $P_{AB} = 5228$ W, $Q_{AB} = 2600$ VAR, $A_{AB} = 5839$ VA ⇒ $I_{AB} = 58.4$ A.
  4. $C = \dfrac{2600 - 5228\cdot0.3287}{314\cdot100^2} = 280\ \mu$F.
  5. Dopo: $A' = \sqrt{5228^2 + 1718^2} = 5500$ VA ⇒ $I' = 55$ A ⇒ $\Delta I = 3.4$ A.
  6. Carichi a+b: $P = 2400$ W, $Q = 1600$ VAR, $\cos\varphi = 0.83$ ind.; a+b+c: $\cos\varphi = 5228/5839 = 0.89$ ind.

R4 · Linea con perdite compito 17 giu 2021, Es. 2 PDF

Testo. La linea ab è in regime sinusoidale a 50 Hz. $\bar Z_a$, ohmico-induttiva, è soggetta a 100 V eff e assorbe 20 A eff con fattore di potenza 0.2. $\bar Z_b$ assorbe 20 A eff, di cui 18 A di corrente attiva. a) perdite di linea; b) rifasamento a 0.95; c) diagramma fasoriale.

P_ab4772 W
Q_ab2832 VAR
I_ab prima35.86 A
V_ab155 V
P linea2572 W
C168 µF
I_ab dopo32.41 A

Suggerimento: $Z_a$ ⇒ $A_a = 2000$ VA, $P_a = 400$ W, $Q_a = 1960$ VAR. Poi ricava dalla figura la tensione su $Z_b$ e gli elementi di linea.

R5 · Rifasamento dal testo alle formule compito 8 apr 2021, Es. 1

Testo (parte). Il carico a, ohmico-induttivo, assorbe una potenza istantanea massima di 2500 W e minima di −500 W. Ricavare $P_a$ e $Q_a$.

$p(t) = P + A\cos(2\omega t + \ldots)$ ⇒ $p_M = P + A$, $p_m = P - A$:

$$P = \frac{2500 + (-500)}{2} = 1000\text{ W},\quad A = \frac{2500-(-500)}{2} = 1500\text{ VA},\quad Q = \sqrt{A^2-P^2} = 1118\text{ VAR}$$

Stessa idea nel compito del 30 set 2020: $A = 2000$ VA e $p_M = 2500$ W ⇒ $P = 500$ W, $Q = 1936$ VAR.

Thevenin e Norton

E1 · Thevenin con BJT compito 29 giu 2020, Es. 1 Soluzione

Testo. Determinare l'equivalente di Thevenin del bipolo AB usando per il BJT il modello a parametri h ($h_{re}=0$, $h_{oe}=0$). Nel circuito: generatore di corrente $I$, resistori $R$ e $2R$, uscita sul resistore $R$ di collettore.

  1. Sostituisci il BJT: $h_{ie}$ tra B ed E, generatore $h_{fe}i_b$ tra C ed E.
  2. $v_{eq}$ (a vuoto). KI alla superficie gaussiana: $i_b + h_{fe}i_b = i + I$. KV alla maglia $R - h_{ie} - 2R$: $(R + h_{ie})i_b + 2Ri = 0$.
  3. Sostituendo: $i_b = \dfrac{2RI}{R + h_{ie} + 2R(1+h_{fe})}$ e $v_{eq} = -h_{fe}Ri_b$:
    $$v_{eq} = -\frac{2h_{fe}R^2I}{R + h_{ie} + 2R(1+h_{fe})}$$
  4. $R_{eq}$: spengo $I$ (circuito aperto), applico $i_0$. La KV dà $(R+h_{ie})i_b + 2R(1+h_{fe})i_b = 0$ ⇒ $i_b = 0$ ⇒ il generatore controllato è spento ⇒ $v_0 = Ri_0$ ⇒ $R_{eq} = R$.

E2 · Metodo rapido con generatore controllato slide lezione 6

Testo. Bipolo AB con generatore di tensione $E$ in serie a $R$, generatore di corrente $I_s$, generatore di corrente controllato $5i_1$ e resistore $R$ percorso da $i_1$, tutti tra i due nodi A e B. Determinare $v_{eq}$ e $R_{eq}$ insieme.

  1. Alimento con $i_0$ e applico Millman ai nodi A-B: $v_0 = \dfrac{E/R - I_s + 5i_1 + i_0}{1/R} = E - RI_s + 5Ri_1 + Ri_0$.
  2. Grandezza di controllo: $v_0 = Ri_1 + E$ ⇒ $i_1 = (v_0 - E)/R$.
  3. Sostituisco: $v_0 = E - RI_s + 5v_0 - 5E + Ri_0$ ⇒ $-4v_0 = -4E - RI_s + Ri_0$.
    $$v_0 = \underbrace{E + \tfrac R4I_s}_{v_{eq}} \underbrace{- \tfrac R4}_{R_{eq}}\,i_0$$

E3 · Norton con conduttanza negativa slide lezione 6

Testo. Determinare l'equivalente di Norton del bipolo (con resistenza da ½ Ω e generatori controllati).

  1. $i_{c.c.}$: con i morsetti in corto la resistenza da ½ Ω è cortocircuitata ⇒ la sua corrente $I = 0$ ⇒ il generatore controllato da $I$ è spento ⇒ $i_{c.c.} = 5$ A.
  2. $G_{eq}$: spengo gli indipendenti, applico $v_0$: $I = 2v_0$; KI alla linea gaussiana: $i_0 = v_0 + v_0 - 4v_0 + 2v_0 - 8v_0 = -8v_0$ ⇒ $G_{eq} = -8\ \Omega^{-1}$.

E4 · Risultati di compiti da confrontare

CompitoRichiestaRisultato ufficiale
15 set 2020Norton con la definizione$i_{eq} = 6I$, $G_{eq} = 0$ ⇒ controllabile in tensione ma non in corrente: Thevenin non esiste
17 giu 2021Thevenin metodo rapido$v_{eq} = RI$, $R_{eq} = 2R$
12 lug 2021Thevenin metodo rapido$v_{eq} = \tfrac{8}{23}E$, $R_{eq} = \tfrac{15}{23}R$
14 dic 2007 (errata)Thevenin$v_{eq} = RI$, $R_{eq} = 0$ (niente Norton)
15 gen 2008 (errata)Max potenza$R_L = 3/2\ \Omega$, $P_{max} = 1/24$ W

Reti due porte

D1 · Parametri z con definizione operativa esercitazione riassuntiva P3

Testo. Determinare i parametri z della rete due porte aa-bb (contiene resistori e un generatore controllato $2v_y$).

  1. $i_2 = 0$ (porta 2 aperta), alimento con $I_1$: $v_y = V_1$, $i_x = V_1/R - I_1$. KV: $V_1 = 2RI_1 - 2V_1 + RI_1 + V_1 - RI_1$ ⇒ $2V_1 = 2RI_1$ ⇒ $z_{11} = R$. Poi $V_2 = RI_1 + V_1 - RI_1 = V_1$ ⇒ $z_{21} = R$.
  2. $i_1 = 0$ (porta 1 aperta), alimento con $I_2$: $v_y = V_1$, $i_x = V_1/R$; $V_1 = -2V_1 + V_2$ ⇒ $V_2 = 3V_1$; $V_2 = RI_2 + V_1$ ⇒ $2V_1 = RI_2$ ⇒ $z_{12} = R/2$, $z_{22} = 3R/2$.
  3. $$\mathbf Z = \begin{bmatrix} R & R/2\\ R & 3R/2\end{bmatrix}\quad\Rightarrow\quad z_{12}\ne z_{21}:\ \text{non reciproca}$$

D2 · Parametri ibridi h esercitazione riassuntiva P3

Testo. Determinare i parametri h della rete due porte (resistore da 3 Ω, generatore controllato $-2i_1$ e un altro resistore).

  1. Alimento la porta 1 con $i_1$ e la porta 2 con $v_2$ (così ottieni tutti i parametri insieme): $v_1 = 3v_2$.
  2. KI alla porta 2: $i_2 = -2i_1 + v_2 + \dfrac{v_2 - v_1}{3} = -2i_1 + \dfrac43v_2 - v_2 = -2i_1 + \dfrac13v_2$.
  3. $$\mathbf H = \begin{bmatrix}0 & 3\\ -2 & 1/3\end{bmatrix}\quad h_{12} \ne -h_{21}:\ \text{non reciproca}$$

Verifica con il convertitore: $\mathbf Z$ esiste, $\mathbf Y$ no.

D3 · Cascata e ABCD esercitazione riassuntiva P3

Testo. Determinare i parametri ABCD pensando la rete come cascata di tre reti elementari: (1) $v_1 = 0$, $i_2 = -2i_1$; (2) conduttanza unitaria in derivazione; (3) resistenza serie 3 Ω.

$$\mathbf T_1 = \begin{bmatrix}0&0\\0&\tfrac12\end{bmatrix},\ \mathbf T_2 = \begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix},\ \mathbf T_3 = \begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \mathbf T = \mathbf T_1\mathbf T_2\mathbf T_3 = \begin{bmatrix}0&0\\ \tfrac12&2\end{bmatrix}$$

Verifica operativa: con $i_2 = 0$: $v_1 = 0$ ⇒ $A = 0$; $i_x = v_2$, $2i_1 = v_2$ ⇒ $C = 1/2$. Con $v_2 = 0$: $B = 0$, $2i_1 = i_x - i_2 = -4i_2$ ⇒ $D = 2$ ✓.

D4 · Conduttanza equivalente con due porte in parallelo esercitazione riassuntiva P3

Testo. $N = N_1 \parallel N_2$ con $\mathbf Y_1$ noto e $N_2$ rete a π con $\mathbf Y_2 = \begin{bmatrix}2&-2\\-2&3\end{bmatrix}$; $\mathbf Y = \begin{bmatrix}4&-1\\-3&4\end{bmatrix}$. Il carico è $G_L = 1/2\ \Omega^{-1}$. Calcolare $G_{eq}$.

$$G_{eq} = y_{11} - \frac{y_{12}y_{21}}{y_{22} + G_L} = 4 - \frac{(-1)(-3)}{4 + \tfrac12} = 4 - \frac23 = \frac{10}{3}\ \Omega^{-1}$$

Massimo trasferimento di potenza

M1 · Carico adattato slide lezione 13

Testo. Determinare il carico che assorbe la massima potenza attiva e valutare la potenza massima (circuito simbolico con $\bar Z_{eq}$ e $\bar V_{eq}$ da calcolare con Thevenin e sovrapposizione; ampiezze massime).

  1. Thevenin visto dal carico: $\bar Z_{eq} = \tfrac12 - \tfrac j6\ \Omega$ ⇒ carico adattato $\bar Z_u = \bar Z_{eq}^* = \tfrac12 + \tfrac j6\ \Omega$.
  2. Sovrapposizione: $\bar V_{eq,1} = \dfrac{2j}{1+j} = 1+j$ V, $\bar V_{eq,2} = -\tfrac16 - \tfrac j2$ V ⇒ $\bar V_{eq} = \tfrac56 + \tfrac j2$ V.
  3. $$P_d = \frac{|\bar V_{eq}|^2}{8R_{eq}} = \frac{(5/6)^2 + (1/2)^2}{8\cdot\tfrac12} \approx 0.236\text{ W}$$
  4. Se il testo chiede di realizzarlo con due bipoli in parallelo: $\bar Y_u = 1/\bar Z_u = G + jB$ ⇒ un resistore $1/G$ e una reattanza $-1/B$.