Parte 2

Regime sinusoidale, potenze e 1° ordine

Metodo dei fasori, potenza complessa, Boucherot, rifasamento, massimo trasferimento di potenza e transitori del primo ordine.

Fasori

A una sinusoide $v(t) = V_M\cos(\omega t + \theta)$ si associa il fasore $\bar V = V_M e^{j\theta}$ tale che $v(t) = \mathrm{Re}[\bar V e^{j\omega t}]$. Il valore efficace è $V = V_M/\sqrt2$.

Operazioni

Derivata: $\dfrac{dv}{dt} \to j\omega \bar V$
Integrale: $\int v\,dt \to \dfrac{\bar V}{j\omega}$
Somma di sinusoidi isofrequenziali → somma dei fasori
Da seno a coseno: $\sin(\omega t+\theta) = \cos(\omega t + \theta - 90°)$

Numeri complessi

$z = a + jb = |z|e^{j\varphi}$, $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, $\varphi = \mathrm{atan2}(b,a)$
$j = e^{j90°}$, $\;1/j = -j$
Prodotto/quoziente: moduli ×/÷, fasi +/−
Calcolatrice complessi

Impedenze e ammettenze

Elemento	Impedenza $\bar Z$	Ammettenza $\bar Y$	Sfasamento $v$ rispetto a $i$
Resistore	$R$	$G$	in fase
Induttore	$j\omega L = jX_L$	$\dfrac{1}{j\omega L}$	$v$ in anticipo di 90°
Condensatore	$\dfrac{1}{j\omega C} = -\dfrac{j}{\omega C}$	$j\omega C$	$v$ in ritardo di 90°

$\bar Z = R + jX = |Z|e^{j\varphi}$: ohmico-induttivo se $X>0$ ($\varphi>0$, corrente in ritardo), ohmico-capacitivo se $X<0$. Tutte le regole di P1 (serie, parallelo, partitori, Millman, Thevenin, nodi) valgono con i fasori e le impedenze.

Potenze in regime sinusoidale

Con $v = \sqrt2 V\cos(\omega t + \theta_v)$, $i = \sqrt2 I\cos(\omega t + \theta_i)$ e $\varphi = \theta_v - \theta_i$:

$$p(t) = VI\cos\varphi + VI\cos(2\omega t + \theta_v + \theta_i)$$

Grandezza	Formula	Unità
Potenza attiva (media)	$P = VI\cos\varphi = RI^2 = \mathrm{Re}[\bar S]$	W
Potenza reattiva	$Q = VI\sin\varphi = XI^2 = \mathrm{Im}[\bar S]$	VAR
Potenza apparente	$A = VI = \sqrt{P^2+Q^2} = \|Z\|I^2$	VA
Potenza complessa	$\bar S = \bar V\bar I^* = P + jQ$ (fasori efficaci)	VA
Fattore di potenza	$\cos\varphi = P/A = R/\|Z\|$	–
Potenza istantanea max / min	$p_{M} = P + A$, $\;p_{m} = P - A$	W
Corrente attiva / reattiva	$I_a = I\cos\varphi$, $I_r = I\sin\varphi$ ⇒ $P = VI_a$, $Q = VI_r$	A

Potenze sui singoli elementi

$R$: $P = RI^2 = V^2/R$, $Q=0$
$L$: $Q_L = X_LI^2 = V^2/X_L > 0$ (assorbe reattiva)
$C$: $Q_C = -\omega C V^2 = -I^2/(\omega C) < 0$ (eroga reattiva)

Legame con l'energia

Energie medie: $W_M = \tfrac12 L I^2$, $W_E = \tfrac12 C V^2$ (valori efficaci).

$$Q = 2\omega\,(W_M - W_E)$$

Usata nel compito del 21 set 2021 (“energia media di tipo elettrico”).

Teorema di Boucherot

In una rete in regime sinusoidale si conservano separatamente la potenza attiva e la potenza reattiva (conseguenza di Tellegen applicato a $\bar V$ e $\bar I^*$):

$$P_{tot} = \sum_k P_k,\qquad Q_{tot} = \sum_k Q_k \qquad \textbf{ma}\quad A_{tot} \ne \sum_k A_k$$

È la base del rifasamento: sommi le P e le Q di tutti i carichi (e degli elementi di linea) per ottenere la potenza ai morsetti.

Rifasamento

I carichi industriali (motori) sono ohmico-induttivi: assorbono potenza reattiva, quindi la corrente di linea $I = \sqrt{I_a^2 + I_r^2}$ è più grande del necessario ($P$ dipende solo da $I_a$). Ponendo un condensatore in parallelo al carico:

$P$ resta uguale, $Q$ diminuisce, $\cos\varphi$ aumenta;
la corrente di linea diminuisce ⇒ minori perdite $R_{linea}I^2$ e conduttori più piccoli;
la reattiva magnetizzante la fornisce il condensatore, non più l'alternatore.

$$C = \frac{P\tan\varphi - P\tan\varphi'}{\omega V^2}\qquad\text{(rifasamento totale: }\varphi' = 0 \Rightarrow C = Q/\omega V^2)$$

Esempio dalle slideMotore 5 kW, cos φ = 0.5 in ritardo, V = 160 V eff, ω = 314 rad/s, target 0.95: $C = \dfrac{5000(1.732 - 0.329)}{314\cdot160^2} = 873$ µF.

Massimo trasferimento di potenza attiva

Un generatore reale $\bar V_s$ con impedenza interna $\bar Z_s = R_s + jX_s$ ($R_s>0$) cede la massima potenza attiva al carico adattato:

$$\bar Z_u = \bar Z_s^{*}\;(R_u = R_s,\;X_u = -X_s),\qquad P_d = \frac{V_{sM}^2}{8R_s} = \frac{V_s^2}{4R_s}\;(\text{efficace})$$

$P_d$ = potenza disponibile del generatore. Rendimento in adattamento: $\eta = 50\%$.
Procedura: trova Thevenin $(\bar V_{eq},\bar Z_{eq})$ visto dal carico, poi $\bar Z_u = \bar Z_{eq}^*$.
Per implementare il carico “con due bipoli in parallelo” (21 gen 2021): calcola $\bar Y_u = 1/\bar Z_u = G + jB$ ⇒ resistore $1/G$ in parallelo a un condensatore ($B>0$, $C = B/\omega$) o induttore ($B<0$, $L = -1/(\omega B)$).

Circuiti del primo ordine

Un solo elemento reattivo che vede il resto del circuito come un Thevenin $(v_{eq}, R_{eq})$:

$$\tau_{RC} = R_{eq}C\qquad \tau_{RL} = \frac{L}{R_{eq}}$$

Eccitazione costante

$$x(t) = x(\infty) + \big[x(0^+) - x(\infty)\big]e^{-t/\tau}$$

Eccitazione sinusoidale

$$x(t) = x_p(t) + \big[x(0^+) - x_p(0^+)\big]e^{-t/\tau}$$

$x_p(t)$ = regime permanente ottenuto con i fasori.

Scomposizioni della risposta completa:

Libera (generatori spenti, stato iniziale ≠ 0) + forzata (stato iniziale nullo, generatori accesi);
Transitoria (tende a 0) + permanente (regime).

Esempio numericoCon $x(0^+) = 3$, $x(\infty) = 2$, $\tau = 5/2$ s: completa $x = 2 + e^{-2t/5}$; libera $3e^{-2t/5}$; forzata $2(1 - e^{-2t/5})$; transitoria $e^{-2t/5}$; permanente $2$. Controllo: libera + forzata = transitoria + permanente.

Circuiti risonanti RLC

RLC serie

$$\bar Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$$

Risonanza: $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $\bar Z = R$ minima, corrente massima
$Q_s = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1}{\omega_0 CR}$
A risonanza $|V_L| = |V_C| = Q_s\,|V|$ (sovratensione)

RLC parallelo

$$\bar Y = G + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)$$

Risonanza: $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $\bar Y = G$ minima, tensione massima
$Q_p = \omega_0 C R = \dfrac{R}{\omega_0 L}$
A risonanza $|I_L| = |I_C| = Q_p\,|I|$ (sovracorrente)

Banda passante (a −3 dB): $B = \omega_2 - \omega_1 = \omega_0/Q$, con $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$. A risonanza il circuito assorbe $Q_{tot} = 0$: l'energia oscilla tra L e C.